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By Giorgio Ausiello, Fabrizio D'Amore, Giorgio Gambosi

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Se ◦ `e anche commutativa, il monoide viene detto commutativo. 13 Le terne IN, +, 0 e IN, ∗, 1 , dove + e ∗ sono le usuali operazioni di somma e prodotto, sono monoidi commutativi. Infatti, oltre alle propriet`a di associativit`a e commutativit`a della somma e del prodotto di naturali, si ha anche che ∀x ∈ IN (x + 0) = (x ∗ 1) = x. 30 La terna S, ◦, e viene detta gruppo se S, ◦, e `e un monoide ed inoltre l’operazione ◦ ammette inverso, cio`e se ∀x ∈ S ∃y ∈ S (x ◦ y) = (y ◦ x) = e. L’elemento y viene detto inverso di x, e si denota come x−1 .

Vale a dire che X T `e l’insieme degli elementi di S che possono essere ottenuti, applicando l’operazione ◦ un numero arbitrario di volte, a partire dagli elementi in X. Un importante caso particolare `e quando X T = S. 32 Dati un semigruppo S, ◦ e un insieme X ⊆ S, gli elementi di X si dicono generatori di S se X T = S. 33 Dati un insieme S ed una operazione associativa ◦, definiamo semigruppo libero sulla coppia S, ◦ il semigruppo S + , ◦+ , dove: 1. S + `e l’insieme di tutte le espressioni x = x1 ◦x2 ◦.

8 Le produzioni S −→ aSa | aAb | aAa aA −→ aa Ab −→ aab appartengono ad una grammatica di tipo 1. I linguaggi generabili da grammatiche di tipo 1 si dicono linguaggi di tipo 1 , o contestuali, o context sensitive (CS). 2, il linguaggio {an bn cn | n ≥ 1} `e certamente di tipo 0. Lo stesso linguaggio pu`o venir generato da una grammatica di tipo 1 equivalente avente le produzioni S −→ aBSc | abc, Ba −→ aB, Bb −→ bb. Dunque il linguaggio {an bn cn | n ≥ 1} `e contestuale. 1. GRAMMATICHE DI CHOMSKY 43 Il termine “linguaggio contestuale”, deriva dal fatto che, storicamente, questi linguaggi sono stati definiti da Chomsky come la classe dei linguaggi generabili da grammatiche aventi produzioni “contestuali” del tipo β1 Aβ2 −→ β1 γβ2 , A ∈ VN , β1 , β2 ∈ V ∗ , γ ∈ V + , in cui si esprime il fatto che la produzione A −→ γ pu` o essere applicata solo se A si trova nel contesto β1 , β2 .

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