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By Demetrio Stojano
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Probar que: 1. Se tiene la descomposici´ on E = ker ϕ ⊕ span {y}. 2. Vale la igualdad d (y , ker ϕ) = |ϕ(y)| ϕ . Probarla “a mano”, sin usar la Prop. 7. 3. Dado a ∈ C, sea H = ϕ−1 (a) = {x ∈ E : ϕ(x) = a}. Entonces d (0 , H) = |a| ϕ . 46. Sean E un EN y ϕ, ψ ∈ E ∗ tales que ϕψ ≡ 0. Probar que en tal caso ϕ ≡ 0 o bien ψ ≡ 0. Potpurr´ı. 47. Sea (E, · ) un EN. Son equivalentes: 1. E es un espacio de Banach. 2. La bola BE es completa. 3. La c´ ascara SE = {x ∈ E : x = 1} es completa. xn < ∞ =⇒ 4. Para toda sucesi´ on (xn )n∈N en E vale que n∈N xn converge en E.

Pero como ΠS es continua, trae para atr´as cerrados en cerrados. 3. Sea E un EN. Dado un S E, probar que 1. La ΠS ∈ L(E, E/S) es abierta, por lo que la topolog´ıa de abajo es la cociente. 2. Si tanto S como E/S son Banach’s con sus normas, entonces anche E es Banach. 4. Sean E y F dos EN’s y sea S E. Consideremos el normado E/S con la norma cociente, y la proyecci´on ΠS ∈ L(E , E/S). Luego: 1. Un operador lineal A : E/S → F es acotado ⇐⇒ A ◦ ΠS ∈ L(E , F ). 2. Adem´as vale que A = A ◦ ΠS . def Demostraci´on.

N→∞ En general no es cierto en los espacios normados que una suma de subespacios cerrados tenga que seguir siendo cerrada. Contraejemplos de esto se mostrar´an a su debido tiempo (Ejer. 4). Hay en el medio una sutil noci´on de ´angulo entre subespacios, que veremos m´as adelante, y ´este a´ngulo decide cuando s´ı y cuando no. 2. Sea E un EN. Si tenemos dos subespacios S, F E y adem´as asumimos que dim F < ∞, entonces se tiene que S + F = {x + y : x ∈ S e y ∈ F} E. Demostraci´on. Consideremos el cociente ΠS : E → E/S.

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