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By Jurgen Wolff von Gudenberg

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2 Manche Aussagen gelten nur für ✂ ✄ fest. wir den Induktionsanfang bei ✁ mit ✌✍✎ . Dann setzen Wir zeigen also, daß aus der Gültigkeit einer Aussage für eine natürliche Zahl immer die Gültigkeit für deren Nachfolger folgt. Da wir diesen Schluß für allgemeines durchführen, braucht er nur einmal zu geschehen. Wichtig ist jedoch die Verankerung am Anfang – hier legen wir den Grundstein für unseren Beweis, der sich sonst nur im »luftleeren Raum« abspielen würde. Diese Beweistechnik ist oft relativ mechanisch durchzuführen, Fingerspitzengefühl und Intuition sind mehr bei der Aufstellung der zu beweisenden Formel oder Aussage aufzubringen.

Vereinbarung eines Wertes: ☞ ✂ ✁☎✍✎✍ ✎ ✂ ✍ ✓ ☞ ✠ ✑ ✓★✕✘✗☞✜✆✡☞☛ ✂ ✠ ✍ ✍ ✎ ✂ ☞ ✘ ✚ ✍ ✓ ☞ ✌ ✍ ☞ ✑ ✓★✕✘✗☞✜✆✡✎✍ ✘ ✍✎✍ ✠ ✏✒✑ ✓★✕✘✗☞✜✏✍✒✑ ✘ Die Variable bezeichnet den ganzzahligen Wert ✓ ✔ , ✓✕✔ . Folglich ist ihre Summe ✔✞✖ . Nachfolgerfunktion: ✍ ✎✓✂ ☞ ✩✎✦ ☞ ✒✁ ☎✄ ✄ ✂ ☎ ✆ ✄ ☞ ✝✌ ✆ ✆☞ ✌✟☛✡☞ ✠✂✁☎✍✎✍ ✫✎✫✒✑✔✓✖✕✘✗✙✏✝✚✛✓✖✕✘✗☞✜✣✢✥✤✧✦★✕☎✚ Der Wert dieser Phrase ist eine Funktion, die ganze Zahlen auf ganze Zahlen abbildet und ✒✁ ☎✄✎✄ heißt. Der Funktionsaufruf kann durch 34 Kapitel 1 Algorithmen und Programmierung ✁ ✍✎✍ ✍ ✒✁ ☎✄✎✄ ☞ ✏✒✑✔✓✖✕✘✗☞✜✄✡✄✂ erfolgen.

Wir wollen den Algorithmus durch Einsetzen entwickeln und ihn nur grob skizzieren: 1. Bilde die Summe über alle Zeilensummen. 2. Bilde die Zeilensumme durch Addition aller Elemente. ✟ Der Aufwand für die Addition von Zahlen beträgt ✝ ✞ ✔ . Dies muß mal durchgeführt werden, um die Zeilensummen zu berechnen. ✂ Deren Addition ✞ ✔☎✄ ✒ ✞✠✔ ✝ kostet ✞✠✔ ✂ Operationen. Also beträgt der Gesamtaufwand ✞ ✔ ✌ ✄ . Das wußten wir natürlich schon vorher, weil wir Zahlen zu addieren hatten. ✄ Diese Überlegungen lassen sich für den einfachsten Fall, das Ablaufen des ersten Algorithmus’ in linearer Zeit, auch direkt aus der Definition herleiten.

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