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By Jean-Pierre Serre (auth.)

Chapitre I. 1DIAUX PIlEMIEIS IT LOCALISATION I I. Wotationa et definitions I 2. Lemme de Bakay. . . . 2 three. Localisation • • • four. Anneaux et 80dules noethiriens 2 five. Spectre•••••• three four 6. Le cas noetherien. four 7. Ideaux pre. iers associe. Chapitre eleven. OUTILS IT SOUTES A) Filtr·ations et graduations. eight I. Anneaux et modules filtres • eight 2. Topologie definie par UDe filtration nine 10 three. Coapletion des modules filtres • • • II four. Anneaux et modules graduis • • • • • five. au tout redevient noethirien; filtrations ~-adiques. 15 20 6. Modules differentiels filtres•••••••••••• B) Polynoaes de Hilbert-SamueL ••••••••••• 26 I. Rappel sur les polynOmes Ii valeurs entieres•••• 26 27 2. Fonctions ingredients sur les different types de modules. 29 three. Le polynOme caractiristique de Hilbert 32 four. Les invariants de Hilbert-Samuel Chapitre 111. T1I£ORlE DE l. a. DDlE!ISION A) measurement des extensions. entieres. 38 I. Definitions. • • • • • • • • • • • • 38 2. Le most well known theore- de Cohen-Seidenberg. 39 three. Le moment theoreme de Cohen-Seidenberg • 4I B) size dans les anneaux noetheriens. forty three I. measurement d'un module. • • • forty three 2. Le cas semi-local noetherien forty four three. Syste. es de parametres forty seven C) Anneaux normaux forty eight I. caracterisation des anneaux normaux. forty eight 2. Proprietes des anneaux noraaux fifty one three. Fermeture integrale. fifty three D) Anneaux de polynomes. • • • • • fifty four I.

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J. ~ AN de ~ dont Ie , dont le terme est le gradue assoeie a une filtration ~-bonne de E oo TorA(M,N) • Cette suite spectrale est utile en geometrie algen brique "pour passer du eSne des tangentes d'une variete a eette variate". 24 II-18 Exemple. Si --t , i . (x,y), k .. corps commutatif; on prend t ,N .. A/(yS_x ) M .. A/(Y) o [X,Y1 A .. k ~ A(1} A ---t s "t M . On a. ---4 0 Lea re8ultats sont resumes dans les diagrammes 8uivants: s-2 - - 8-1 r .. • p II-19 B) FOLnWKES DE HILBERT-SAMUEL 1. Rappel sur les polyn8mes a valeurs entieres ~ Soit S [X] des nombres entiers), coefficients dans S ~ dans (ensemble l'ensemble des polyn8mes en X !

1)P p=1 27 X (Mp ) 0 est une suite 0 • II-21 Exemplesl a) groupe multiplicatif des nombres rationnels positifs et Me C , est l'ordre de b) )(14) , pour element unite), C est M (nombre d'elements). A est un anneau (noetherien, a la categorie des A-modules (unitaires) de longueur finie et pour M e. (M) .. p (-1)P l(M)p An" 0 de 14 , et pour n) 0 ). K.. Z p .. (Caract8ristique d'Euler-Poincare). A est un anneau gradue redui t si r . z. (ici X(M) C est la categorie des modules r. z. e. r le C est la categorie des groupes abeliens finis, ), a son premier element C est la categorie definie dans D la categorie des complexes K ..

A» Ifl(Ke)p En effet, ~(Ke) tion de ~ tion que est l'image de Znn (~)p , et la fil tra- est donc la filtration quotient de la filtra- induit sur Zn Terminons sur un exemple de eomplexe de deBre -1: M et ~-adique. Appelons module libre de ~ tre Somme directe de modules filtres isomorphes translate A(p) de A (A(P)k • ~P-k) qu'il existe des resolutions de ~ --. ou les tout module fil- a A ou a un • On voit alors faeilement M d X ~X n ---. n-1 Xi sont des modules filtres libres de type fini et ou sont des morphismes striets.

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